Selesaikan {l}{3x-7y=0}{2x-5y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 0 } \\ { 2 x - 5 y = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-7y=0,2x-5y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-7y=0$$

Tambahkan 7y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=7y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\times 7y$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 7y.

$$x=\frac{7}{3}y$$

Gantikan \frac{7y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x-5y=0.

$$2\times \frac{7}{3}y-5y=0$$

Darabkan 2 kali \frac{7y}{3}.

$$\frac{14}{3}y-5y=0$$

Tambahkan \frac{14y}{3} pada -5y.

$$-\frac{1}{3}y=0$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=\frac{7}{3}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-7y=0,2x-5y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-7\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\left(-5\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-5\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-7y=0,2x-5y=0$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\left(-7\right)y=0,3\times 2x+3\left(-5\right)y=0$$

Permudahkan.

$$6x-14y=0,6x-15y=0$$

Tolak 6x-15y=0 daripada 6x-14y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-14y+15y=0$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-14y+15y=0$$

Tambahkan -14y pada 15y.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 2x-5y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=0$$