Selesaikan {l}{3x-5y-4=0}{15y=4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y - 4 = 0 } \\ { 15 y = 4 x + 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$3x-5y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$15y-4x=3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-5y=4$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=5y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Gantikan \frac{5y+4}{3} dengan x dalam persamaan lain, -4x+15y=3.

$$-4\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+15y=3$$

Darabkan -4 kali \frac{5y+4}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{16}{3}+15y=3$$

Tambahkan -\frac{20y}{3} pada 15y.

$$\frac{25}{3}y-\frac{16}{3}=3$$

Tambahkan \frac{16}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{25}{3}y=\frac{25}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{25}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada \frac{5}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$3x-5y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$15y-4x=3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{3}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\\\frac{4}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$3x-5y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$15y-4x=3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

Untuk menjadikan 3x dan -4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-4\times 3x-4\left(-5\right)y=-4\times 4,3\left(-4\right)x+3\times 15y=3\times 3$$

Permudahkan.

$$-12x+20y=-16,-12x+45y=9$$

Tolak -12x+45y=9 daripada -12x+20y=-16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-12x+12x+20y-45y=-16-9$$

Tambahkan -12x pada 12x. Seubtan -12x dan 12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$20y-45y=-16-9$$

Tambahkan 20y pada -45y.

$$-25y=-16-9$$

Tambahkan -16 pada -9.

$$-25y=-25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -25.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam -4x+15y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-4x+15=3$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=1$$