Selesaikan {l}{3x-2y=7}{x+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 7 } \\ { x + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-2y=7,x+3y=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-2y=7$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=2y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 2y+7.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Gantikan \frac{2y+7}{3} dengan x dalam persamaan lain, x+3y=-5.

$$\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}+3y=-5$$

Tambahkan \frac{2y}{3} pada 3y.

$$\frac{11}{3}y+\frac{7}{3}=-5$$

Tolak \frac{7}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{7}{3}$$

Darabkan \frac{2}{3} kali -2.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

Tambahkan \frac{7}{3} pada -\frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-2y=7,x+3y=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 7+\frac{2}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{3}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-2y=7,x+3y=-5$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x-2y=7,3x+3\times 3y=3\left(-5\right)$$

Permudahkan.

$$3x-2y=7,3x+9y=-15$$

Tolak 3x+9y=-15 daripada 3x-2y=7 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x-2y-9y=7+15$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-9y=7+15$$

Tambahkan -2y pada -9y.

$$-11y=7+15$$

Tambahkan 7 pada 15.

$$-11y=22$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x+3y=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+3\left(-2\right)=-5$$

Darabkan 3 kali -2.

$$x-6=-5$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-2$$