Selesaikan {l}{3x-2y=6}{2x+3y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 6 } \\ { 2 x + 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{32}{13} = 2\frac{6}{13} \approx 2.461538462$$

$$y=\frac{9}{13}\approx 0.692307692$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-2y=6,2x+3y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-2y=6$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=2y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

Gantikan \frac{2y}{3}+2 dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=7.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+3y=7$$

Darabkan 2 kali \frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4+3y=7$$

Tambahkan \frac{4y}{3} pada 3y.

$$\frac{13}{3}y+4=7$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{13}{3}y=3$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{13}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{9}{13}$$

Gantikan \frac{9}{13} dengan y dalam x=\frac{2}{3}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{9}{13}+2$$

Darabkan \frac{2}{3} dengan \frac{9}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{6}{13}+2$$

Tambahkan 2 pada \frac{6}{13}.

$$x=\frac{32}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{32}{13},y=\frac{9}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-2y=6,2x+3y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 6+\frac{2}{13}\times 7\\-\frac{2}{13}\times 6+\frac{3}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{13}\\\frac{9}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{32}{13},y=\frac{9}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-2y=6,2x+3y=7$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\times 3y=3\times 7$$

Permudahkan.

$$6x-4y=12,6x+9y=21$$

Tolak 6x+9y=21 daripada 6x-4y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-4y-9y=12-21$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-9y=12-21$$

Tambahkan -4y pada -9y.

$$-13y=12-21$$

Tambahkan 12 pada -21.

$$-13y=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -13.

$$y=\frac{9}{13}$$

Gantikan \frac{9}{13} dengan y dalam 2x+3y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+3\times \frac{9}{13}=7$$

Darabkan 3 kali \frac{9}{13}.

$$2x+\frac{27}{13}=7$$

Tolak \frac{27}{13} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{64}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{32}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{32}{13},y=\frac{9}{13}$$