Selesaikan {l}{3x-2y=-3}{2x+4y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 3 } \\ { 2 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-2y=-3$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=2y-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

Gantikan \frac{2y}{3}-1 dengan x dalam persamaan lain, 2x+4y=2.

$$2\left(\frac{2}{3}y-1\right)+4y=2$$

Darabkan 2 kali \frac{2y}{3}-1.

$$\frac{4}{3}y-2+4y=2$$

Tambahkan \frac{4y}{3} pada 4y.

$$\frac{16}{3}y-2=2$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{16}{3}y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{16}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{3}{4}$$

Gantikan \frac{3}{4} dengan y dalam x=\frac{2}{3}y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}-1$$

Darabkan \frac{2}{3} dengan \frac{3}{4} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1}{2}-1$$

Tambahkan -1 pada \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-3\right)+\frac{1}{8}\times 2\\-\frac{1}{8}\left(-3\right)+\frac{3}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-3\right),3\times 2x+3\times 4y=3\times 2$$

Permudahkan.

$$6x-4y=-6,6x+12y=6$$

Tolak 6x+12y=6 daripada 6x-4y=-6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-4y-12y=-6-6$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-12y=-6-6$$

Tambahkan -4y pada -12y.

$$-16y=-6-6$$

Tambahkan -6 pada -6.

$$-16y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -16.

$$y=\frac{3}{4}$$

Gantikan \frac{3}{4} dengan y dalam 2x+4y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+4\times \frac{3}{4}=2$$

Darabkan 4 kali \frac{3}{4}.

$$2x+3=2$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$