Selesaikan {l}{3x-2y=-10}{5x-11y=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 10 } \\ { 5 x - 11 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-2y=-10$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=2y-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-10\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -10+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}$$

Gantikan \frac{-10+2y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 5x-11y=-9.

$$5\left(\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}\right)-11y=-9$$

Darabkan 5 kali \frac{-10+2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y-\frac{50}{3}-11y=-9$$

Tambahkan \frac{10y}{3} pada -11y.

$$-\frac{23}{3}y-\frac{50}{3}=-9$$

Tambahkan \frac{50}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{23}{3}y=\frac{23}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{23}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{10}{3}$$

Darabkan \frac{2}{3} kali -1.

$$x=\frac{-2-10}{3}$$

Tambahkan -\frac{10}{3} pada -\frac{2}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&-\frac{2}{23}\\\frac{5}{23}&-\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\left(-10\right)-\frac{2}{23}\left(-9\right)\\\frac{5}{23}\left(-10\right)-\frac{3}{23}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

Untuk menjadikan 3x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-10\right),3\times 5x+3\left(-11\right)y=3\left(-9\right)$$

Permudahkan.

$$15x-10y=-50,15x-33y=-27$$

Tolak 15x-33y=-27 daripada 15x-10y=-50 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x-10y+33y=-50+27$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-10y+33y=-50+27$$

Tambahkan -10y pada 33y.

$$23y=-50+27$$

Tambahkan -50 pada 27.

$$23y=-23$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 23.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 5x-11y=-9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-11\left(-1\right)=-9$$

Darabkan -11 kali -1.

$$5x+11=-9$$

Tolak 11 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=-1$$