Selesaikan {l}{3x=-4y}{5x-6y=38}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x = - 4 y } \\ { 5 x - 6 y = 38 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4y pada kedua-dua belah.

$$3x+4y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+4y=0$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-4y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4\right)y$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4y.

$$x=-\frac{4}{3}y$$

Gantikan -\frac{4y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 5x-6y=38.

$$5\left(-\frac{4}{3}\right)y-6y=38$$

Darabkan 5 kali -\frac{4y}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-6y=38$$

Tambahkan -\frac{20y}{3} pada -6y.

$$-\frac{38}{3}y=38$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{38}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-3\right)$$

Darabkan -\frac{4}{3} kali -3.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4y pada kedua-dua belah.

$$3x+4y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 5}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-6\right)-4\times 5}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 38\\-\frac{3}{38}\times 38\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4y pada kedua-dua belah.

$$3x+4y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Untuk menjadikan 3x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$5\times 3x+5\times 4y=0,3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 38$$

Permudahkan.

$$15x+20y=0,15x-18y=114$$

Tolak 15x-18y=114 daripada 15x+20y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x+20y+18y=-114$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$20y+18y=-114$$

Tambahkan 20y pada 18y.

$$38y=-114$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 38.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam 5x-6y=38. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-6\left(-3\right)=38$$

Darabkan -6 kali -3.

$$5x+18=38$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-3$$