Selesaikan {l}{3x+y=8}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 8 } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=8,2x+y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=8$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y+8.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

Gantikan \frac{-y+8}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=5.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}\right)+y=5$$

Darabkan 2 kali \frac{-y+8}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}+y=5$$

Tambahkan -\frac{2y}{3} pada y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{16}{3}=5$$

Tolak \frac{16}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{1}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{8}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -1.

$$x=\frac{1+8}{3}$$

Tambahkan \frac{8}{3} pada \frac{1}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=8,2x+y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8-5\\-2\times 8+3\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=8,2x+y=5$$

Tolak 2x+y=5 daripada 3x+y=8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-2x+y-y=8-5$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3x-2x=8-5$$

Tambahkan 3x pada -2x.

$$x=8-5$$

Tambahkan 8 pada -5.

$$x=3$$

Gantikan 3 dengan x dalam 2x+y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2\times 3+y=5$$

Darabkan 2 kali 3.

$$6+y=5$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-1$$