Selesaikan {l}{3x+y=6}{2y=2+x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 6 } \\ { 2 y = 2 + x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

$$y = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1.714285714$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y-x=2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=6,-x+2y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=6$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

Gantikan -\frac{y}{3}+2 dengan x dalam persamaan lain, -x+2y=2.

$$-\left(-\frac{1}{3}y+2\right)+2y=2$$

Darabkan -1 kali -\frac{y}{3}+2.

$$\frac{1}{3}y-2+2y=2$$

Tambahkan \frac{y}{3} pada 2y.

$$\frac{7}{3}y-2=2$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{3}y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{12}{7}$$

Gantikan \frac{12}{7} dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{12}{7}+2$$

Darabkan -\frac{1}{3} dengan \frac{12}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{4}{7}+2$$

Tambahkan 2 pada -\frac{4}{7}.

$$x=\frac{10}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{12}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y-x=2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=6,-x+2y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 6-\frac{1}{7}\times 2\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{3}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\\\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{12}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y-x=2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=6,-x+2y=2$$

Untuk menjadikan 3x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-3x-y=-6,3\left(-1\right)x+3\times 2y=3\times 2$$

Permudahkan.

$$-3x-y=-6,-3x+6y=6$$

Tolak -3x+6y=6 daripada -3x-y=-6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3x+3x-y-6y=-6-6$$

Tambahkan -3x pada 3x. Seubtan -3x dan 3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-y-6y=-6-6$$

Tambahkan -y pada -6y.

$$-7y=-6-6$$

Tambahkan -6 pada -6.

$$-7y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=\frac{12}{7}$$

Gantikan \frac{12}{7} dengan y dalam -x+2y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+2\times \frac{12}{7}=2$$

Darabkan 2 kali \frac{12}{7}.

$$-x+\frac{24}{7}=2$$

Tolak \frac{24}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-\frac{10}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=\frac{10}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{12}{7}$$