Selesaikan {l}{3x+y=5}{x+2/5+y/2=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } + \frac { y } { 2 } = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=5,\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=5$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Gantikan \frac{-y+5}{3} dengan x dalam persamaan lain, \frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada 2.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Darabkan \frac{1}{5} kali \frac{-y+11}{3}.

$$-\frac{1}{15}y+\frac{11}{15}+\frac{1}{2}y=-1$$

Tambahkan -\frac{y}{15} pada \frac{y}{2}.

$$\frac{13}{30}y+\frac{11}{15}=-1$$

Tolak \frac{11}{15} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{13}{30}y=-\frac{26}{15}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{13}{30} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -4.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada \frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=5,\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Permudahkan persamaan kedua untuk meletakkannya dalam bentuk piawai.

$$\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Darabkan \frac{1}{5} kali x+2.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{5}+\frac{1}{2}y=-1$$

Tolak \frac{2}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{2}y=-\frac{7}{5}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}&-\frac{1}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}&\frac{3}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&-\frac{10}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{30}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 5-\frac{10}{13}\left(-\frac{7}{5}\right)\\-\frac{2}{13}\times 5+\frac{30}{13}\left(-\frac{7}{5}\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=-4$$