Selesaikan {l}{3x+y=2}{3x-2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 2 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=2,3x-2y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=2$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y+2.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Gantikan \frac{-y+2}{3} dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y=5.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-2y=5$$

Darabkan 3 kali \frac{-y+2}{3}.

$$-y+2-2y=5$$

Tambahkan -y pada -2y.

$$-3y+2=5$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{2}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -1.

$$x=\frac{1+2}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada \frac{1}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=2,3x-2y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{3\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-3}&\frac{3}{3\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 5\\\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=2,3x-2y=5$$

Tolak 3x-2y=5 daripada 3x+y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+y+2y=2-5$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+2y=2-5$$

Tambahkan y pada 2y.

$$3y=2-5$$

Tambahkan 2 pada -5.

$$3y=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 3x-2y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\left(-1\right)=5$$

Darabkan -2 kali -1.

$$3x+2=5$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$