Selesaikan {l}{3x+y=-1}{x+5y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = - 1 } \\ { x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=-1,x+5y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=-1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-1\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y-1.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{-y-1}{3} dengan x dalam persamaan lain, x+5y=9.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}+5y=9$$

Tambahkan -\frac{y}{3} pada 5y.

$$\frac{14}{3}y-\frac{1}{3}=9$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{14}{3}y=\frac{28}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{14}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali 2.

$$x=\frac{-2-1}{3}$$

Tambahkan -\frac{1}{3} pada -\frac{2}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=-1,x+5y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-1}&-\frac{1}{3\times 5-1}\\-\frac{1}{3\times 5-1}&\frac{3}{3\times 5-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-1\right)-\frac{1}{14}\times 9\\-\frac{1}{14}\left(-1\right)+\frac{3}{14}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=-1,x+5y=9$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x+y=-1,3x+3\times 5y=3\times 9$$

Permudahkan.

$$3x+y=-1,3x+15y=27$$

Tolak 3x+15y=27 daripada 3x+y=-1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+y-15y=-1-27$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-15y=-1-27$$

Tambahkan y pada -15y.

$$-14y=-1-27$$

Tambahkan -1 pada -27.

$$-14y=-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -14.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x+5y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+5\times 2=9$$

Darabkan 5 kali 2.

$$x+10=9$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=2$$