Selesaikan {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+6y=24$$

Tolak 6y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-6y+24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -6y+24.

$$x=-2y+8$$

Gantikan -2y+8 dengan x dalam persamaan lain, 9x+5y=68.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

Darabkan 9 kali -2y+8.

$$-18y+72+5y=68$$

Tambahkan -18y pada 5y.

$$-13y+72=68$$

Tolak 72 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-13y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -13.

$$y=\frac{4}{13}$$

Gantikan \frac{4}{13} dengan y dalam x=-2y+8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

Darabkan -2 kali \frac{4}{13}.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

Tambahkan 8 pada -\frac{8}{13}.

$$x=\frac{96}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Untuk menjadikan 3x dan 9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

Permudahkan.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

Tolak 27x+15y=204 daripada 27x+54y=216 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

Tambahkan 27x pada -27x. Seubtan 27x dan -27x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$54y-15y=216-204$$

Tambahkan 54y pada -15y.

$$39y=216-204$$

Tambahkan 216 pada -204.

$$39y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 39.

$$y=\frac{4}{13}$$

Gantikan \frac{4}{13} dengan y dalam 9x+5y=68. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

Darabkan 5 kali \frac{4}{13}.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

Tolak \frac{20}{13} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=\frac{864}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{96}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$