Selesaikan {l}{3x+5y=4}{-3x+4y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { - 3 x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9} \approx -1.444444444$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+5y=4$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-5y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Gantikan \frac{-5y+4}{3} dengan x dalam persamaan lain, -3x+4y=11.

$$-3\left(-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+4y=11$$

Darabkan -3 kali \frac{-5y+4}{3}.

$$5y-4+4y=11$$

Tambahkan 5y pada 4y.

$$9y-4=11$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$9y=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=\frac{5}{3}$$

Gantikan \frac{5}{3} dengan y dalam x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}+\frac{4}{3}$$

Darabkan -\frac{5}{3} dengan \frac{5}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{25}{9}+\frac{4}{3}$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada -\frac{25}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{13}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{3\times 4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-5\left(-3\right)}&\frac{3}{3\times 4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 4-\frac{5}{27}\times 11\\\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{9}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Untuk menjadikan 3x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 4,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 11$$

Permudahkan.

$$-9x-15y=-12,-9x+12y=33$$

Tolak -9x+12y=33 daripada -9x-15y=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-9x+9x-15y-12y=-12-33$$

Tambahkan -9x pada 9x. Seubtan -9x dan 9x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y-12y=-12-33$$

Tambahkan -15y pada -12y.

$$-27y=-12-33$$

Tambahkan -12 pada -33.

$$-27y=-45$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -27.

$$y=\frac{5}{3}$$

Gantikan \frac{5}{3} dengan y dalam -3x+4y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+4\times \frac{5}{3}=11$$

Darabkan 4 kali \frac{5}{3}.

$$-3x+\frac{20}{3}=11$$

Tolak \frac{20}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=\frac{13}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{13}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$