Selesaikan {l}{3x+2y=7}{4x-3y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 4 x - 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=7,4x-3y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=7$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+7}{3} dengan x dalam persamaan lain, 4x-3y=-2.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-3y=-2$$

Darabkan 4 kali \frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{28}{3}-3y=-2$$

Tambahkan -\frac{8y}{3} pada -3y.

$$-\frac{17}{3}y+\frac{28}{3}=-2$$

Tolak \frac{28}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{17}{3}y=-\frac{34}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{17}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali 2.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

Tambahkan \frac{7}{3} pada -\frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=7,4x-3y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{4}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 7+\frac{2}{17}\left(-2\right)\\\frac{4}{17}\times 7-\frac{3}{17}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=7,4x-3y=-2$$

Untuk menjadikan 3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 7,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$12x+8y=28,12x-9y=-6$$

Tolak 12x-9y=-6 daripada 12x+8y=28 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+8y+9y=28+6$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y+9y=28+6$$

Tambahkan 8y pada 9y.

$$17y=28+6$$

Tambahkan 28 pada 6.

$$17y=34$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 17.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 4x-3y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-3\times 2=-2$$

Darabkan -3 kali 2.

$$4x-6=-2$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$