Selesaikan {l}{3x+2y=7}{3x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 3 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=7,3x+y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=7$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+7}{3} dengan x dalam persamaan lain, 3x+y=5.

$$3\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+y=5$$

Darabkan 3 kali \frac{-2y+7}{3}.

$$-2y+7+y=5$$

Tambahkan -2y pada y.

$$-y+7=5$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali 2.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

Tambahkan \frac{7}{3} pada -\frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=7,3x+y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 3}&-\frac{2}{3-2\times 3}\\-\frac{3}{3-2\times 3}&\frac{3}{3-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 5\\7-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=7,3x+y=5$$

Tolak 3x+y=5 daripada 3x+2y=7 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+2y-y=7-5$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-y=7-5$$

Tambahkan 2y pada -y.

$$y=7-5$$

Tambahkan 7 pada -5.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 3x+y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2=5$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$