Selesaikan {l}{3x+2y=17}{5x-y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 17 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{21}{13} = 1\frac{8}{13} \approx 1.615384615$$

$$y = \frac{79}{13} = 6\frac{1}{13} \approx 6.076923077$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=17$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+17\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+17.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+17}{3} dengan x dalam persamaan lain, 5x-y=2.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}\right)-y=2$$

Darabkan 5 kali \frac{-2y+17}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{85}{3}-y=2$$

Tambahkan -\frac{10y}{3} pada -y.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{85}{3}=2$$

Tolak \frac{85}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{79}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{13}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{79}{13}$$

Gantikan \frac{79}{13} dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{79}{13}+\frac{17}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} dengan \frac{79}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{158}{39}+\frac{17}{3}$$

Tambahkan \frac{17}{3} pada -\frac{158}{39} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{21}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 17+\frac{2}{13}\times 2\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{13}\\\frac{79}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

Untuk menjadikan 3x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 17,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 2$$

Permudahkan.

$$15x+10y=85,15x-3y=6$$

Tolak 15x-3y=6 daripada 15x+10y=85 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x+10y+3y=85-6$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y+3y=85-6$$

Tambahkan 10y pada 3y.

$$13y=85-6$$

Tambahkan 85 pada -6.

$$13y=79$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$y=\frac{79}{13}$$

Gantikan \frac{79}{13} dengan y dalam 5x-y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-\frac{79}{13}=2$$

Tambahkan \frac{79}{13} pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=\frac{105}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{21}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$