Selesaikan {l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2k$$

$$y=5k$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=16k$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+16k$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+16k.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+16k}{3} dengan x dalam persamaan lain, 5x-4y=-10k.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

Darabkan 5 kali \frac{-2y+16k}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

Tambahkan -\frac{10y}{3} pada -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

Tolak \frac{80k}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{22}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=5k$$

Gantikan 5k dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali 5k.

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

Tambahkan \frac{16k}{3} pada -\frac{10k}{3}.

$$x=2k$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2k,y=5k$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2k,y=5k$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Untuk menjadikan 3x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

Permudahkan.

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

Tolak 15x-12y=-30k daripada 15x+10y=80k dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y+12y=80k+30k$$

Tambahkan 10y pada 12y.

$$22y=80k+30k$$

Tambahkan 80k pada 30k.

$$22y=110k$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 22.

$$y=5k$$

Gantikan 5k dengan y dalam 5x-4y=-10k. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-4\times 5k=-10k$$

Darabkan -4 kali 5k.

$$5x-20k=-10k$$

Tambahkan 20k pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=10k$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=2k$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2k,y=5k$$