Selesaikan {l}{3x+2y=13}{x-2y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 13 } \\ { x - 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=13,x-2y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=13$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+13\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+13.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+13}{3} dengan x dalam persamaan lain, x-2y=-1.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}-2y=-1$$

Tambahkan -\frac{2y}{3} pada -2y.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{13}{3}=-1$$

Tolak \frac{13}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{16}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{8}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{13}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali 2.

$$x=\frac{-4+13}{3}$$

Tambahkan \frac{13}{3} pada -\frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=13,x-2y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-2}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 13+\frac{1}{4}\left(-1\right)\\\frac{1}{8}\times 13-\frac{3}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=13,x-2y=-1$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x+2y=13,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$3x+2y=13,3x-6y=-3$$

Tolak 3x-6y=-3 daripada 3x+2y=13 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+2y+6y=13+3$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y+6y=13+3$$

Tambahkan 2y pada 6y.

$$8y=13+3$$

Tambahkan 13 pada 3.

$$8y=16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x-2y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-2\times 2=-1$$

Darabkan -2 kali 2.

$$x-4=-1$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=2$$