Selesaikan {l}{3x+2y=10}{7x-8y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 10 } \\ { 7 x - 8 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=10,7x-8y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=10$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+10.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+10}{3} dengan x dalam persamaan lain, 7x-8y=-2.

$$7\left(-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}\right)-8y=-2$$

Darabkan 7 kali \frac{-2y+10}{3}.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{70}{3}-8y=-2$$

Tambahkan -\frac{14y}{3} pada -8y.

$$-\frac{38}{3}y+\frac{70}{3}=-2$$

Tolak \frac{70}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{38}{3}y=-\frac{76}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{38}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{10}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali 2.

$$x=\frac{-4+10}{3}$$

Tambahkan \frac{10}{3} pada -\frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=10,7x-8y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-2\times 7}&-\frac{2}{3\left(-8\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{3\left(-8\right)-2\times 7}&\frac{3}{3\left(-8\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{7}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-2\right)\\\frac{7}{38}\times 10-\frac{3}{38}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=10,7x-8y=-2$$

Untuk menjadikan 3x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$7\times 3x+7\times 2y=7\times 10,3\times 7x+3\left(-8\right)y=3\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$21x+14y=70,21x-24y=-6$$

Tolak 21x-24y=-6 daripada 21x+14y=70 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$21x-21x+14y+24y=70+6$$

Tambahkan 21x pada -21x. Seubtan 21x dan -21x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$14y+24y=70+6$$

Tambahkan 14y pada 24y.

$$38y=70+6$$

Tambahkan 70 pada 6.

$$38y=76$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 38.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 7x-8y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x-8\times 2=-2$$

Darabkan -8 kali 2.

$$7x-16=-2$$

Tambahkan 16 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=2$$