Selesaikan {l}{3x+2y=1}{2x-7y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { 2 x - 7 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{3}{25}=0.12$$

$$y=\frac{8}{25}=0.32$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=1$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+1.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+1}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x-7y=-2.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-7y=-2$$

Darabkan 2 kali \frac{-2y+1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}-7y=-2$$

Tambahkan -\frac{4y}{3} pada -7y.

$$-\frac{25}{3}y+\frac{2}{3}=-2$$

Tolak \frac{2}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{25}{3}y=-\frac{8}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{25}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{8}{25}$$

Gantikan \frac{8}{25} dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{8}{25}+\frac{1}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} dengan \frac{8}{25} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{16}{75}+\frac{1}{3}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada -\frac{16}{75} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{3}{25}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-7\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\\\frac{2}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}+\frac{2}{25}\left(-2\right)\\\frac{2}{25}-\frac{3}{25}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\\\frac{8}{25}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2,3\times 2x+3\left(-7\right)y=3\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$6x+4y=2,6x-21y=-6$$

Tolak 6x-21y=-6 daripada 6x+4y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+4y+21y=2+6$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y+21y=2+6$$

Tambahkan 4y pada 21y.

$$25y=2+6$$

Tambahkan 2 pada 6.

$$25y=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$y=\frac{8}{25}$$

Gantikan \frac{8}{25} dengan y dalam 2x-7y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-7\times \frac{8}{25}=-2$$

Darabkan -7 kali \frac{8}{25}.

$$2x-\frac{56}{25}=-2$$

Tambahkan \frac{56}{25} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{6}{25}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{3}{25}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$