Selesaikan {l}{3x+2=4y}{x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 = 4 y } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

$$y = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$3x+2-4y=0$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$3x-4y=-2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-4y=-2$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=4y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-2\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 4y-2.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}$$

Gantikan \frac{4y-2}{3} dengan x dalam persamaan lain, x+y=10.

$$\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+y=10$$

Tambahkan \frac{4y}{3} pada y.

$$\frac{7}{3}y-\frac{2}{3}=10$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{3}y=\frac{32}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{32}{7}$$

Gantikan \frac{32}{7} dengan y dalam x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{4}{3}\times \frac{32}{7}-\frac{2}{3}$$

Darabkan \frac{4}{3} dengan \frac{32}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{128}{21}-\frac{2}{3}$$

Tambahkan -\frac{2}{3} pada \frac{128}{21} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{38}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$3x+2-4y=0$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$3x-4y=-2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{4}{7}\times 10\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{38}{7}\\\frac{32}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$3x+2-4y=0$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$3x-4y=-2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x-4y=-2,3x+3y=3\times 10$$

Permudahkan.

$$3x-4y=-2,3x+3y=30$$

Tolak 3x+3y=30 daripada 3x-4y=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x-4y-3y=-2-30$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-3y=-2-30$$

Tambahkan -4y pada -3y.

$$-7y=-2-30$$

Tambahkan -2 pada -30.

$$-7y=-32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=\frac{32}{7}$$

Gantikan \frac{32}{7} dengan y dalam x+y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+\frac{32}{7}=10$$

Tolak \frac{32}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{38}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$