Selesaikan {l}{3m+4n=7}{4m-3n-1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 m + 4 n = 7 } \\ { 4 m - 3 n - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk m, n

$$m=1$$

$$n=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk m dengan mengasingkan m di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3m+4n=7$$

Tolak 4n daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3m=-4n+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$m=\frac{1}{3}\left(-4n+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4n+7.

$$m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}$$

Gantikan \frac{-4n+7}{3} dengan m dalam persamaan lain, 4m-3n-1=0.

$$4\left(-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}\right)-3n-1=0$$

Darabkan 4 kali \frac{-4n+7}{3}.

$$-\frac{16}{3}n+\frac{28}{3}-3n-1=0$$

Tambahkan -\frac{16n}{3} pada -3n.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{28}{3}-1=0$$

Tambahkan \frac{28}{3} pada -1.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{25}{3}=0$$

Tolak \frac{25}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{25}{3}n=-\frac{25}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{25}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$n=1$$

Gantikan 1 dengan n dalam m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m=\frac{-4+7}{3}$$

Tambahkan \frac{7}{3} pada -\frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$m=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=1,n=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 7+\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}\times 7-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks m dan n.

$$m=1,n=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Untuk menjadikan 3m dan 4m sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3m+4\times 4n=4\times 7,3\times 4m+3\left(-3\right)n+3\left(-1\right)=0$$

Permudahkan.

$$12m+16n=28,12m-9n-3=0$$

Tolak 12m-9n-3=0 daripada 12m+16n=28 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12m-12m+16n+9n+3=28$$

Tambahkan 12m pada -12m. Seubtan 12m dan -12m saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$16n+9n+3=28$$

Tambahkan 16n pada 9n.

$$25n+3=28$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$25n=25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$n=1$$

Gantikan 1 dengan n dalam 4m-3n-1=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$4m-3-1=0$$

Tambahkan -3 pada -1.

$$4m-4=0$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4m=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$m=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=1,n=1$$