Selesaikan {l}{3a+7b=44}{-5a+6b=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 7 b = 44 } \\ { - 5 a + 6 b = 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=3$$

$$b=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3a+7b=44$$

Tolak 7b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3a=-7b+44$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-7b+44\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -7b+44.

$$a=-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}$$

Gantikan \frac{-7b+44}{3} dengan a dalam persamaan lain, -5a+6b=15.

$$-5\left(-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}\right)+6b=15$$

Darabkan -5 kali \frac{-7b+44}{3}.

$$\frac{35}{3}b-\frac{220}{3}+6b=15$$

Tambahkan \frac{35b}{3} pada 6b.

$$\frac{53}{3}b-\frac{220}{3}=15$$

Tambahkan \frac{220}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{53}{3}b=\frac{265}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{53}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=5$$

Gantikan 5 dengan b dalam a=-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{7}{3}\times 5+\frac{44}{3}$$

Darabkan -\frac{7}{3} kali 5.

$$a=\frac{-35+44}{3}$$

Tambahkan \frac{44}{3} pada -\frac{35}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=3,b=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{3\times 6-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\times 6-7\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 6-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{53}&-\frac{7}{53}\\\frac{5}{53}&\frac{3}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{53}\times 44-\frac{7}{53}\times 15\\\frac{5}{53}\times 44+\frac{3}{53}\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=3,b=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

Untuk menjadikan 3a dan -5a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-5\times 3a-5\times 7b=-5\times 44,3\left(-5\right)a+3\times 6b=3\times 15$$

Permudahkan.

$$-15a-35b=-220,-15a+18b=45$$

Tolak -15a+18b=45 daripada -15a-35b=-220 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-15a+15a-35b-18b=-220-45$$

Tambahkan -15a pada 15a. Seubtan -15a dan 15a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-35b-18b=-220-45$$

Tambahkan -35b pada -18b.

$$-53b=-220-45$$

Tambahkan -220 pada -45.

$$-53b=-265$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -53.

$$b=5$$

Gantikan 5 dengan b dalam -5a+6b=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$-5a+6\times 5=15$$

Darabkan 6 kali 5.

$$-5a+30=15$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5a=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$a=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=3,b=5$$