Selesaikan {l}{3a+4c=1}{2a-c=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 4 c = 1 } \\ { 2 a - c = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, c

$$a=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

$$c=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3a+4c=1,2a-c=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3a+4c=1$$

Tolak 4c daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3a=-4c+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-4c+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4c+1.

$$a=-\frac{4}{3}c+\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{-4c+1}{3} dengan a dalam persamaan lain, 2a-c=0.

$$2\left(-\frac{4}{3}c+\frac{1}{3}\right)-c=0$$

Darabkan 2 kali \frac{-4c+1}{3}.

$$-\frac{8}{3}c+\frac{2}{3}-c=0$$

Tambahkan -\frac{8c}{3} pada -c.

$$-\frac{11}{3}c+\frac{2}{3}=0$$

Tolak \frac{2}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{11}{3}c=-\frac{2}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{11}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$c=\frac{2}{11}$$

Gantikan \frac{2}{11} dengan c dalam a=-\frac{4}{3}c+\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{4}{3}\times \frac{2}{11}+\frac{1}{3}$$

Darabkan -\frac{4}{3} dengan \frac{2}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$a=-\frac{8}{33}+\frac{1}{3}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada -\frac{8}{33} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a=\frac{1}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{1}{11},c=\frac{2}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3a+4c=1,2a-c=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-4\times 2}&-\frac{4}{3\left(-1\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-4\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan c.

$$a=\frac{1}{11},c=\frac{2}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3a+4c=1,2a-c=0$$

Untuk menjadikan 3a dan 2a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3a+2\times 4c=2,3\times 2a+3\left(-1\right)c=0$$

Permudahkan.

$$6a+8c=2,6a-3c=0$$

Tolak 6a-3c=0 daripada 6a+8c=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6a-6a+8c+3c=2$$

Tambahkan 6a pada -6a. Seubtan 6a dan -6a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8c+3c=2$$

Tambahkan 8c pada 3c.

$$11c=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$c=\frac{2}{11}$$

Gantikan \frac{2}{11} dengan c dalam 2a-c=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$2a-\frac{2}{11}=0$$

Tambahkan \frac{2}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2a=\frac{2}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$a=\frac{1}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{1}{11},c=\frac{2}{11}$$