Selesaikan {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3a+14b=4$$

Tolak 14b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3a=-14b+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -14b+4.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

Gantikan \frac{-14b+4}{3} dengan a dalam persamaan lain, 13a+19b=13.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

Darabkan 13 kali \frac{-14b+4}{3}.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

Tambahkan -\frac{182b}{3} pada 19b.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

Tolak \frac{52}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{125}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=\frac{13}{125}$$

Gantikan \frac{13}{125} dengan b dalam a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

Darabkan -\frac{14}{3} dengan \frac{13}{125} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada -\frac{182}{375} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a=\frac{106}{125}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Untuk menjadikan 3a dan 13a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 13 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

Permudahkan.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

Tolak 39a+57b=39 daripada 39a+182b=52 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

Tambahkan 39a pada -39a. Seubtan 39a dan -39a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$182b-57b=52-39$$

Tambahkan 182b pada -57b.

$$125b=52-39$$

Tambahkan 52 pada -39.

$$125b=13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 125.

$$b=\frac{13}{125}$$

Gantikan \frac{13}{125} dengan b dalam 13a+19b=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

Darabkan 19 kali \frac{13}{125}.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

Tolak \frac{247}{125} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$a=\frac{106}{125}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$