Selesaikan {l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$3x-3-2y=-2$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah.

$$3x-2y=-2+3$$

Tambahkan -2 dan 3 untuk dapatkan 1.

$$3x-2y=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$4y-4-3x=15$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$4y-3x=15+4$$

Tambahkan 15 dan 4 untuk dapatkan 19.

$$4y-3x=19$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-2y=1$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=2y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{2y+1}{3} dengan x dalam persamaan lain, -3x+4y=19.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

Darabkan -3 kali \frac{2y+1}{3}.

$$-2y-1+4y=19$$

Tambahkan -2y pada 4y.

$$2y-1=19$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

Darabkan \frac{2}{3} kali 10.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada \frac{20}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=10$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$3x-3-2y=-2$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah.

$$3x-2y=-2+3$$

Tambahkan -2 dan 3 untuk dapatkan 1.

$$3x-2y=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$4y-4-3x=15$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$4y-3x=15+4$$

Tambahkan 15 dan 4 untuk dapatkan 19.

$$4y-3x=19$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=7,y=10$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$3x-3-2y=-2$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah.

$$3x-2y=-2+3$$

Tambahkan -2 dan 3 untuk dapatkan 1.

$$3x-2y=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$4y-4-3x=15$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$4y-3x=15+4$$

Tambahkan 15 dan 4 untuk dapatkan 19.

$$4y-3x=19$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Untuk menjadikan 3x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

Permudahkan.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

Tolak -9x+12y=57 daripada -9x+6y=-3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

Tambahkan -9x pada 9x. Seubtan -9x dan 9x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y-12y=-3-57$$

Tambahkan 6y pada -12y.

$$-6y=-3-57$$

Tambahkan -3 pada -57.

$$-6y=-60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam -3x+4y=19. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+4\times 10=19$$

Darabkan 4 kali 10.

$$-3x+40=19$$

Tolak 40 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=10$$