Selesaikan {l}{3(x+y)-4(x-y)=6}{x+y/2-x-y/6=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = 6 } \\ { \frac { x + y } { 2 } - \frac { x - y } { 6 } = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=6$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan x-y.

$$3x+3y-4x+4y=6$$

Gabungkan 3x dan -4x untuk mendapatkan -x.

$$-x+3y+4y=6$$

Gabungkan 3y dan 4y untuk mendapatkan 7y.

$$-x+7y=6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,6.

$$3\left(x+y\right)-\left(x-y\right)=6$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+y.

$$3x+3y-\left(x-y\right)=6$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x-y, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$3x+3y-x+y=6$$

Gabungkan 3x dan -x untuk mendapatkan 2x.

$$2x+3y+y=6$$

Gabungkan 3y dan y untuk mendapatkan 4y.

$$2x+4y=6$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x+7y=6,2x+4y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x+7y=6$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-7y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(-7y+6\right)$$

Darabkan -1 kali -7y+6.

$$x=7y-6$$

Gantikan 7y-6 dengan x dalam persamaan lain, 2x+4y=6.

$$2\left(7y-6\right)+4y=6$$

Darabkan 2 kali 7y-6.

$$14y-12+4y=6$$

Tambahkan 14y pada 4y.

$$18y-12=6$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$18y=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=7y-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=7-6$$

Tambahkan -6 pada 7.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=6$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan x-y.

$$3x+3y-4x+4y=6$$

Gabungkan 3x dan -4x untuk mendapatkan -x.

$$-x+3y+4y=6$$

Gabungkan 3y dan 4y untuk mendapatkan 7y.

$$-x+7y=6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,6.

$$3\left(x+y\right)-\left(x-y\right)=6$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+y.

$$3x+3y-\left(x-y\right)=6$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x-y, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$3x+3y-x+y=6$$

Gabungkan 3x dan -x untuk mendapatkan 2x.

$$2x+3y+y=6$$

Gabungkan 3y dan y untuk mendapatkan 4y.

$$2x+4y=6$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x+7y=6,2x+4y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&7\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-4-7\times 2}&-\frac{7}{-4-7\times 2}\\-\frac{2}{-4-7\times 2}&-\frac{1}{-4-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{7}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\times 6+\frac{7}{18}\times 6\\\frac{1}{9}\times 6+\frac{1}{18}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=6$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan x-y.

$$3x+3y-4x+4y=6$$

Gabungkan 3x dan -4x untuk mendapatkan -x.

$$-x+3y+4y=6$$

Gabungkan 3y dan 4y untuk mendapatkan 7y.

$$-x+7y=6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,6.

$$3\left(x+y\right)-\left(x-y\right)=6$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+y.

$$3x+3y-\left(x-y\right)=6$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x-y, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$3x+3y-x+y=6$$

Gabungkan 3x dan -x untuk mendapatkan 2x.

$$2x+3y+y=6$$

Gabungkan 3y dan y untuk mendapatkan 4y.

$$2x+4y=6$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x+7y=6,2x+4y=6$$

Untuk menjadikan -x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$2\left(-1\right)x+2\times 7y=2\times 6,-2x-4y=-6$$

Permudahkan.

$$-2x+14y=12,-2x-4y=-6$$

Tolak -2x-4y=-6 daripada -2x+14y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x+14y+4y=12+6$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$14y+4y=12+6$$

Tambahkan 14y pada 4y.

$$18y=12+6$$

Tambahkan 12 pada 6.

$$18y=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 2x+4y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+4=6$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=1$$