Selesaikan {l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Gabungkan 3x dan -4x untuk mendapatkan -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Gabungkan 3y dan 4y untuk mendapatkan 7y.

$$-x+7y=-18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab \frac{1}{2} dengan x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab \frac{1}{6} dengan x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Gabungkan \frac{1}{2}x dan \frac{1}{6}x untuk mendapatkan \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Gabungkan \frac{1}{2}y dan -\frac{1}{6}y untuk mendapatkan \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x+7y=-18$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-7y-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

Darabkan -1 kali -7y-18.

$$x=7y+18$$

Gantikan 7y+18 dengan x dalam persamaan lain, \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

Darabkan \frac{2}{3} kali 7y+18.

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

Tambahkan \frac{14y}{3} pada \frac{y}{3}.

$$5y+12=2$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=7y+18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=7\left(-2\right)+18$$

Darabkan 7 kali -2.

$$x=-14+18$$

Tambahkan 18 pada -14.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Gabungkan 3x dan -4x untuk mendapatkan -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Gabungkan 3y dan 4y untuk mendapatkan 7y.

$$-x+7y=-18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab \frac{1}{2} dengan x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab \frac{1}{6} dengan x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Gabungkan \frac{1}{2}x dan \frac{1}{6}x untuk mendapatkan \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Gabungkan \frac{1}{2}y dan -\frac{1}{6}y untuk mendapatkan \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Gabungkan 3x dan -4x untuk mendapatkan -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Gabungkan 3y dan 4y untuk mendapatkan 7y.

$$-x+7y=-18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab \frac{1}{2} dengan x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab \frac{1}{6} dengan x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Gabungkan \frac{1}{2}x dan \frac{1}{6}x untuk mendapatkan \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Gabungkan \frac{1}{2}y dan -\frac{1}{6}y untuk mendapatkan \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Untuk menjadikan -x dan \frac{2x}{3} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan \frac{2}{3} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Permudahkan.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Tolak -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 daripada -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Tambahkan -\frac{2x}{3} pada \frac{2x}{3}. Seubtan -\frac{2x}{3} dan \frac{2x}{3} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Tambahkan \frac{14y}{3} pada \frac{y}{3}.

$$5y=-12+2$$

Tambahkan -12 pada 2.

$$5y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{2}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-2$$