Selesaikan {l}{3(x+2)=2y}{2cy+5=7x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + 5 = 7 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

$$c\neq \frac{7}{3}$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+2.

$$3x+6=2y$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$3x+6-2y=0$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$3x-2y=-6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 7x daripada kedua-dua belah.

$$2cy+5-7x=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$2cy-7x=-5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-2y=-6$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=2y-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

Gantikan \frac{2y}{3}-2 dengan x dalam persamaan lain, -7x+2cy=-5.

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-5$$

Darabkan -7 kali \frac{2y}{3}-2.

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-5$$

Tambahkan -\frac{14y}{3} pada 2cy.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-5$$

Tolak 14 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -\frac{14}{3}+2c.

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Gantikan -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)} dengan y dalam x=\frac{2}{3}y-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

Darabkan \frac{2}{3} kali -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)}.

$$x=-\frac{19}{3c-7}-2$$

Tambahkan -2 pada -\frac{19}{-7+3c}.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+2.

$$3x+6=2y$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$3x+6-2y=0$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$3x-2y=-6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 7x daripada kedua-dua belah.

$$2cy+5-7x=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$2cy-7x=-5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-5\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6c+5}{3c-7}\\-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+2.

$$3x+6=2y$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$3x+6-2y=0$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$3x-2y=-6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 7x daripada kedua-dua belah.

$$2cy+5-7x=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$2cy-7x=-5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Untuk menjadikan 3x dan -7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-5\right)$$

Permudahkan.

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-15$$

Tolak -21x+6cy=-15 daripada -21x+14y=42 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

Tambahkan -21x pada 21x. Seubtan -21x dan 21x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

Tambahkan 14y pada -6cy.

$$\left(14-6c\right)y=42+15$$

Tambahkan 42 pada 15.

$$\left(14-6c\right)y=57$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 14-6c.

$$y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$

Gantikan \frac{57}{2\left(7-3c\right)} dengan y dalam -7x+2cy=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-7x+2c\times \frac{57}{2\left(7-3c\right)}=-5$$

Darabkan 2c kali \frac{57}{2\left(7-3c\right)}.

$$-7x+\frac{57c}{7-3c}=-5$$

Tolak \frac{57c}{7-3c} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=-\frac{7\left(6c+5\right)}{7-3c}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c},y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$