Selesaikan {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -7 dengan 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Tolak 21 daripada -6 untuk mendapatkan -27.

$$15x-27-14y=2$$

Tambahkan 27 pada kedua-dua belah.

$$15x-14y=2+27$$

Tambahkan 2 dan 27 untuk dapatkan 29.

$$15x-14y=29$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Tambahkan 27x pada kedua-dua belah.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Gabungkan 6x dan 27x untuk mendapatkan 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Tambahkan 23 pada kedua-dua belah.

$$33x-2y=12+23$$

Tambahkan 12 dan 23 untuk dapatkan 35.

$$33x-2y=35$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$15x-14y=29$$

Tambahkan 14y pada kedua-dua belah persamaan.

$$15x=14y+29$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

Darabkan \frac{1}{15} kali 14y+29.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

Gantikan \frac{14y+29}{15} dengan x dalam persamaan lain, 33x-2y=35.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

Darabkan 33 kali \frac{14y+29}{15}.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

Tambahkan \frac{154y}{5} pada -2y.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

Tolak \frac{319}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{144}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

Darabkan \frac{14}{15} kali -1.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

Tambahkan \frac{29}{15} pada -\frac{14}{15} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -7 dengan 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Tolak 21 daripada -6 untuk mendapatkan -27.

$$15x-27-14y=2$$

Tambahkan 27 pada kedua-dua belah.

$$15x-14y=2+27$$

Tambahkan 2 dan 27 untuk dapatkan 29.

$$15x-14y=29$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Tambahkan 27x pada kedua-dua belah.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Gabungkan 6x dan 27x untuk mendapatkan 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Tambahkan 23 pada kedua-dua belah.

$$33x-2y=12+23$$

Tambahkan 12 dan 23 untuk dapatkan 35.

$$33x-2y=35$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -7 dengan 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Tolak 21 daripada -6 untuk mendapatkan -27.

$$15x-27-14y=2$$

Tambahkan 27 pada kedua-dua belah.

$$15x-14y=2+27$$

Tambahkan 2 dan 27 untuk dapatkan 29.

$$15x-14y=29$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Tambahkan 27x pada kedua-dua belah.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Gabungkan 6x dan 27x untuk mendapatkan 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Tambahkan 23 pada kedua-dua belah.

$$33x-2y=12+23$$

Tambahkan 12 dan 23 untuk dapatkan 35.

$$33x-2y=35$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Untuk menjadikan 15x dan 33x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 33 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 15.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

Permudahkan.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

Tolak 495x-30y=525 daripada 495x-462y=957 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

Tambahkan 495x pada -495x. Seubtan 495x dan -495x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-462y+30y=957-525$$

Tambahkan -462y pada 30y.

$$-432y=957-525$$

Tambahkan 957 pada -525.

$$-432y=432$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -432.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 33x-2y=35. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

Darabkan -2 kali -1.

$$33x+2=35$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$33x=33$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 33.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$