Selesaikan {l}{3=-4+2b+c}{-5=-16+4b+c}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 = - 4 + 2 b + c } \\ { - 5 = - 16 + 4 b + c } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk b, c

$$b=2$$

$$c=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$-4+2b+c=3$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$2b+c=3+4$$

Tambahkan 3 dan 4 untuk dapatkan 7.

$$2b+c=7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$-16+4b+c=-5$$

Tambahkan 16 pada kedua-dua belah.

$$4b+c=-5+16$$

Tambahkan -5 dan 16 untuk dapatkan 11.

$$4b+c=11$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2b+c=7,4b+c=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk b dengan mengasingkan b di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2b+c=7$$

Tolak c daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2b=-c+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$b=\frac{1}{2}\left(-c+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -c+7.

$$b=-\frac{1}{2}c+\frac{7}{2}$$

Gantikan \frac{-c+7}{2} dengan b dalam persamaan lain, 4b+c=11.

$$4\left(-\frac{1}{2}c+\frac{7}{2}\right)+c=11$$

Darabkan 4 kali \frac{-c+7}{2}.

$$-2c+14+c=11$$

Tambahkan -2c pada c.

$$-c+14=11$$

Tolak 14 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-c=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$c=3$$

Gantikan 3 dengan c dalam b=-\frac{1}{2}c+\frac{7}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk b.

$$b=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 3.

$$b=\frac{-3+7}{2}$$

Tambahkan \frac{7}{2} pada -\frac{3}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$b=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$b=2,c=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$-4+2b+c=3$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$2b+c=3+4$$

Tambahkan 3 dan 4 untuk dapatkan 7.

$$2b+c=7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$-16+4b+c=-5$$

Tambahkan 16 pada kedua-dua belah.

$$4b+c=-5+16$$

Tambahkan -5 dan 16 untuk dapatkan 11.

$$4b+c=11$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2b+c=7,4b+c=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{2}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}\times 11\\2\times 7-11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks b dan c.

$$b=2,c=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$-4+2b+c=3$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$2b+c=3+4$$

Tambahkan 3 dan 4 untuk dapatkan 7.

$$2b+c=7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$-16+4b+c=-5$$

Tambahkan 16 pada kedua-dua belah.

$$4b+c=-5+16$$

Tambahkan -5 dan 16 untuk dapatkan 11.

$$4b+c=11$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2b+c=7,4b+c=11$$

Tolak 4b+c=11 daripada 2b+c=7 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2b-4b+c-c=7-11$$

Tambahkan c pada -c. Seubtan c dan -c saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2b-4b=7-11$$

Tambahkan 2b pada -4b.

$$-2b=7-11$$

Tambahkan 7 pada -11.

$$-2b=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$b=2$$

Gantikan 2 dengan b dalam 4b+c=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk c.

$$4\times 2+c=11$$

Darabkan 4 kali 2.

$$8+c=11$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$c=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$b=2,c=3$$