Selesaikan {l}{25x+35y=16500}{x+y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=100$$

$$y=400$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$25x+35y=16500$$

Tolak 35y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$25x=-35y+16500$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

Darabkan \frac{1}{25} kali -35y+16500.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

Gantikan -\frac{7y}{5}+660 dengan x dalam persamaan lain, x+y=500.

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

Tambahkan -\frac{7y}{5} pada y.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

Tolak 660 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{2}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=400$$

Gantikan 400 dengan y dalam x=-\frac{7}{5}y+660. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

Darabkan -\frac{7}{5} kali 400.

$$x=-560+660$$

Tambahkan 660 pada -560.

$$x=100$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=100,y=400$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=100,y=400$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Untuk menjadikan 25x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 25.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

Permudahkan.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

Tolak 25x+25y=12500 daripada 25x+35y=16500 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

Tambahkan 25x pada -25x. Seubtan 25x dan -25x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$35y-25y=16500-12500$$

Tambahkan 35y pada -25y.

$$10y=16500-12500$$

Tambahkan 16500 pada -12500.

$$10y=4000$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=400$$

Gantikan 400 dengan y dalam x+y=500. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+400=500$$

Tolak 400 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=100$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=100,y=400$$