Selesaikan {l}{25+5p+q=0}{9-3p+q=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 + 5 p + q = 0 } \\ { 9 - 3 p + q = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk p, q

$$p=-2$$

$$q=-15$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5p+q+25=0,-3p+q+9=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk p dengan mengasingkan p di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5p+q+25=0$$

Tolak 25 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5p+q=-25$$

Tolak q daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5p=-q-25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$p=\frac{1}{5}\left(-q-25\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -q-25.

$$p=-\frac{1}{5}q-5$$

Gantikan -\frac{q}{5}-5 dengan p dalam persamaan lain, -3p+q+9=0.

$$-3\left(-\frac{1}{5}q-5\right)+q+9=0$$

Darabkan -3 kali -\frac{q}{5}-5.

$$\frac{3}{5}q+15+q+9=0$$

Tambahkan \frac{3q}{5} pada q.

$$\frac{8}{5}q+15+9=0$$

Tambahkan 15 pada 9.

$$\frac{8}{5}q+24=0$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{8}{5}q=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{8}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$q=-15$$

Gantikan -15 dengan q dalam p=-\frac{1}{5}q-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk p.

$$p=-\frac{1}{5}\left(-15\right)-5$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali -15.

$$p=3-5$$

Tambahkan -5 pada 3.

$$p=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$p=-2,q=-15$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5p+q+25=0,-3p+q+9=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-3\right)}&-\frac{1}{5-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-3\right)}&\frac{5}{5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-25\right)-\frac{1}{8}\left(-9\right)\\\frac{3}{8}\left(-25\right)+\frac{5}{8}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks p dan q.

$$p=-2,q=-15$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5p+q+25=0,-3p+q+9=0$$

Tolak -3p+q+9=0 daripada 5p+q+25=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5p+3p+q-q+25-9=0$$

Tambahkan q pada -q. Seubtan q dan -q saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5p+3p+25-9=0$$

Tambahkan 5p pada 3p.

$$8p+25-9=0$$

Tambahkan 25 pada -9.

$$8p+16=0$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8p=-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$p=-2$$

Gantikan -2 dengan p dalam -3p+q+9=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk q.

$$-3\left(-2\right)+q+9=0$$

Darabkan -3 kali -2.

$$6+q+9=0$$

Tambahkan 6 pada 9.

$$q+15=0$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$q=-15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$p=-2,q=-15$$