Selesaikan {l}{21x+7y=42}{-5x+5y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 21 x + 7 y = 42 } \\ { - 5 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$21x+7y=42$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$21x=-7y+42$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 21.

$$x=\frac{1}{21}\left(-7y+42\right)$$

Darabkan \frac{1}{21} kali -7y+42.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

Gantikan -\frac{y}{3}+2 dengan x dalam persamaan lain, -5x+5y=10.

$$-5\left(-\frac{1}{3}y+2\right)+5y=10$$

Darabkan -5 kali -\frac{y}{3}+2.

$$\frac{5}{3}y-10+5y=10$$

Tambahkan \frac{5y}{3} pada 5y.

$$\frac{20}{3}y-10=10$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{20}{3}y=20$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{20}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+2$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali 3.

$$x=-1+2$$

Tambahkan 2 pada -1.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{21\times 5-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&\frac{21}{21\times 5-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}&-\frac{1}{20}\\\frac{1}{28}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}\times 42-\frac{1}{20}\times 10\\\frac{1}{28}\times 42+\frac{3}{20}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Untuk menjadikan 21x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 21.

$$-5\times 21x-5\times 7y=-5\times 42,21\left(-5\right)x+21\times 5y=21\times 10$$

Permudahkan.

$$-105x-35y=-210,-105x+105y=210$$

Tolak -105x+105y=210 daripada -105x-35y=-210 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-105x+105x-35y-105y=-210-210$$

Tambahkan -105x pada 105x. Seubtan -105x dan 105x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-35y-105y=-210-210$$

Tambahkan -35y pada -105y.

$$-140y=-210-210$$

Tambahkan -210 pada -210.

$$-140y=-420$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -140.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam -5x+5y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x+5\times 3=10$$

Darabkan 5 kali 3.

$$-5x+15=10$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=3$$