Selesaikan {l}{200x+300y=360}{300x+200y=340}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$200x+300y=360$$

Tolak 300y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$200x=-300y+360$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 200.

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

Darabkan \frac{1}{200} kali -300y+360.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

Gantikan -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} dengan x dalam persamaan lain, 300x+200y=340.

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

Darabkan 300 kali -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}.

$$-450y+540+200y=340$$

Tambahkan -450y pada 200y.

$$-250y+540=340$$

Tolak 540 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-250y=-200$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -250.

$$y=\frac{4}{5}$$

Gantikan \frac{4}{5} dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan \frac{4}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

Tambahkan \frac{9}{5} pada -\frac{6}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{3}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Untuk menjadikan 200x dan 300x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 300 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 200.

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

Permudahkan.

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

Tolak 60000x+40000y=68000 daripada 60000x+90000y=108000 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

Tambahkan 60000x pada -60000x. Seubtan 60000x dan -60000x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$90000y-40000y=108000-68000$$

Tambahkan 90000y pada -40000y.

$$50000y=108000-68000$$

Tambahkan 108000 pada -68000.

$$50000y=40000$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 50000.

$$y=\frac{4}{5}$$

Gantikan \frac{4}{5} dengan y dalam 300x+200y=340. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

Darabkan 200 kali \frac{4}{5}.

$$300x+160=340$$

Tolak 160 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$300x=180$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 300.

$$x=\frac{3}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$