Selesaikan {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=40$$

$$y=55$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 20 daripada kedua-dua belah.

$$x+y=115-20$$

Tolak 20 daripada 115 untuk mendapatkan 95.

$$x+y=95$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 8y daripada kedua-dua belah.

$$11x-8y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=95$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+95$$

Gantikan -y+95 dengan x dalam persamaan lain, 11x-8y=0.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

Darabkan 11 kali -y+95.

$$-11y+1045-8y=0$$

Tambahkan -11y pada -8y.

$$-19y+1045=0$$

Tolak 1045 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-19y=-1045$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -19.

$$y=55$$

Gantikan 55 dengan y dalam x=-y+95. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-55+95$$

Tambahkan 95 pada -55.

$$x=40$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=40,y=55$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 20 daripada kedua-dua belah.

$$x+y=115-20$$

Tolak 20 daripada 115 untuk mendapatkan 95.

$$x+y=95$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 8y daripada kedua-dua belah.

$$11x-8y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=40,y=55$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 20 daripada kedua-dua belah.

$$x+y=115-20$$

Tolak 20 daripada 115 untuk mendapatkan 95.

$$x+y=95$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 8y daripada kedua-dua belah.

$$11x-8y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Untuk menjadikan x dan 11x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 11 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

Permudahkan.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

Tolak 11x-8y=0 daripada 11x+11y=1045 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

Tambahkan 11x pada -11x. Seubtan 11x dan -11x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$11y+8y=1045$$

Tambahkan 11y pada 8y.

$$19y=1045$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$y=55$$

Gantikan 55 dengan y dalam 11x-8y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$11x-8\times 55=0$$

Darabkan -8 kali 55.

$$11x-440=0$$

Tambahkan 440 pada kedua-dua belah persamaan.

$$11x=440$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$x=40$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=40,y=55$$