Selesaikan {l}{2y=3x-6}{5x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$2y-3x=-6$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2y-3x=-6$$

Tambahkan 3x pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=3x-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Gantikan \frac{3x}{2}-3 dengan y dalam persamaan lain, 4y+5x=8.

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

Darabkan 4 kali \frac{3x}{2}-3.

$$6x-12+5x=8$$

Tambahkan 6x pada 5x.

$$11x-12=8$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$11x=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$x=\frac{20}{11}$$

Gantikan \frac{20}{11} dengan x dalam y=\frac{3}{2}x-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

Darabkan \frac{3}{2} dengan \frac{20}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{30}{11}-3$$

Tambahkan -3 pada \frac{30}{11}.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$2y-3x=-6$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$2y-3x=-6$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Untuk menjadikan 2y dan 4y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

Permudahkan.

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

Tolak 8y+10x=16 daripada 8y-12x=-24 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

Tambahkan 8y pada -8y. Seubtan 8y dan -8y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12x-10x=-24-16$$

Tambahkan -12x pada -10x.

$$-22x=-24-16$$

Tambahkan -24 pada -16.

$$-22x=-40$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -22.

$$x=\frac{20}{11}$$

Gantikan \frac{20}{11} dengan x dalam 4y+5x=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

Darabkan 5 kali \frac{20}{11}.

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

Tolak \frac{100}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=-\frac{12}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$