Selesaikan {l}{2x-y=6}{x+y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 6 } \\ { x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=6,x+y=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=6$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+6.

$$x=\frac{1}{2}y+3$$

Gantikan \frac{y}{2}+3 dengan x dalam persamaan lain, x+y=-3.

$$\frac{1}{2}y+3+y=-3$$

Tambahkan \frac{y}{2} pada y.

$$\frac{3}{2}y+3=-3$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{2}y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4\right)+3$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -4.

$$x=-2+3$$

Tambahkan 3 pada -2.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=6,x+y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{1}{3}\left(-3\right)\\-\frac{1}{3}\times 6+\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=6,x+y=-3$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x-y=6,2x+2y=2\left(-3\right)$$

Permudahkan.

$$2x-y=6,2x+2y=-6$$

Tolak 2x+2y=-6 daripada 2x-y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-y-2y=6+6$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-y-2y=6+6$$

Tambahkan -y pada -2y.

$$-3y=6+6$$

Tambahkan 6 pada 6.

$$-3y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam x+y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-4=-3$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-4$$