Selesaikan {l}{2x-y=5}{4x+6y=24}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} = 3.375$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=5$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{5+y}{2} dengan x dalam persamaan lain, 4x+6y=24.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

Darabkan 4 kali \frac{5+y}{2}.

$$2y+10+6y=24$$

Tambahkan 2y pada 6y.

$$8y+10=24$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8y=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=\frac{7}{4}$$

Gantikan \frac{7}{4} dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{4}+\frac{5}{2}$$

Darabkan \frac{1}{2} dengan \frac{7}{4} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{7}{8}+\frac{5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada \frac{7}{8} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{27}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{8}\\\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 5,2\times 4x+2\times 6y=2\times 24$$

Permudahkan.

$$8x-4y=20,8x+12y=48$$

Tolak 8x+12y=48 daripada 8x-4y=20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x-4y-12y=20-48$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-12y=20-48$$

Tambahkan -4y pada -12y.

$$-16y=20-48$$

Tambahkan 20 pada -48.

$$-16y=-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -16.

$$y=\frac{7}{4}$$

Gantikan \frac{7}{4} dengan y dalam 4x+6y=24. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+6\times \frac{7}{4}=24$$

Darabkan 6 kali \frac{7}{4}.

$$4x+\frac{21}{2}=24$$

Tolak \frac{21}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{27}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{27}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$