Selesaikan {l}{2x-y=5}{-x=30-3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { - x = 30 - 3 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=9$$

$$y=13$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$-x+3y=30$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=5$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{5+y}{2} dengan x dalam persamaan lain, -x+3y=30.

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=30$$

Darabkan -1 kali \frac{5+y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+3y=30$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada 3y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}=30$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{2}y=\frac{65}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=13$$

Gantikan 13 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times 13+\frac{5}{2}$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 13.

$$x=\frac{13+5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada \frac{13}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=13$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$-x+3y=30$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=9,y=13$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$-x+3y=30$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Untuk menjadikan 2x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-2x-\left(-y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 30$$

Permudahkan.

$$-2x+y=-5,-2x+6y=60$$

Tolak -2x+6y=60 daripada -2x+y=-5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x+y-6y=-5-60$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-6y=-5-60$$

Tambahkan y pada -6y.

$$-5y=-5-60$$

Tambahkan -5 pada -60.

$$-5y=-65$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=13$$

Gantikan 13 dengan y dalam -x+3y=30. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+3\times 13=30$$

Darabkan 3 kali 13.

$$-x+39=30$$

Tolak 39 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=13$$