Selesaikan {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$2x-y-4x=-3$$

Gabungkan 2x dan -4x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-y=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-2x-y=-3$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=y-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali y-3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Gantikan \frac{-y+3}{2} dengan x dalam persamaan lain, x+y=\frac{1}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -2.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada 1.

$$x=\frac{5}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$2x-y-4x=-3$$

Gabungkan 2x dan -4x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-y=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$2x-y-4x=-3$$

Gabungkan 2x dan -4x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-y=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Untuk menjadikan -2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -2.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

Permudahkan.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

Tolak -2x-2y=-1 daripada -2x-y=-3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-y+2y=-3+1$$

Tambahkan -y pada 2y.

$$y=-3+1$$

Tambahkan -3 pada 1.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x+y=\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$