Selesaikan {l}{2x-y=4}{3x-5y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 } \\ { 3 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=4$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Gantikan \frac{y}{2}+2 dengan x dalam persamaan lain, 3x-5y=15.

$$3\left(\frac{1}{2}y+2\right)-5y=15$$

Darabkan 3 kali \frac{y}{2}+2.

$$\frac{3}{2}y+6-5y=15$$

Tambahkan \frac{3y}{2} pada -5y.

$$-\frac{7}{2}y+6=15$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{2}y=9$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{18}{7}$$

Gantikan -\frac{18}{7} dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{18}{7}\right)+2$$

Darabkan \frac{1}{2} dengan -\frac{18}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{9}{7}+2$$

Tambahkan 2 pada -\frac{9}{7}.

$$x=\frac{5}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 4-\frac{1}{7}\times 15\\\frac{3}{7}\times 4-\frac{2}{7}\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 15$$

Permudahkan.

$$6x-3y=12,6x-10y=30$$

Tolak 6x-10y=30 daripada 6x-3y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-3y+10y=12-30$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y+10y=12-30$$

Tambahkan -3y pada 10y.

$$7y=12-30$$

Tambahkan 12 pada -30.

$$7y=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=-\frac{18}{7}$$

Gantikan -\frac{18}{7} dengan y dalam 3x-5y=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-5\left(-\frac{18}{7}\right)=15$$

Darabkan -5 kali -\frac{18}{7}.

$$3x+\frac{90}{7}=15$$

Tolak \frac{90}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{15}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{5}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$