Selesaikan {l}{2x-y=3}{4x+3y=-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 3 } \\ { 4 x + 3 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y = -\frac{21}{5} = -4\frac{1}{5} = -4.2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=3,4x+3y=-15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=3$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y+3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+3.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Gantikan \frac{3+y}{2} dengan x dalam persamaan lain, 4x+3y=-15.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+3y=-15$$

Darabkan 4 kali \frac{3+y}{2}.

$$2y+6+3y=-15$$

Tambahkan 2y pada 3y.

$$5y+6=-15$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-\frac{21}{5}$$

Gantikan -\frac{21}{5} dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{21}{5}\right)+\frac{3}{2}$$

Darabkan \frac{1}{2} dengan -\frac{21}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{21}{10}+\frac{3}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada -\frac{21}{10} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{21}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=3,4x+3y=-15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 3+\frac{1}{10}\left(-15\right)\\-\frac{2}{5}\times 3+\frac{1}{5}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{21}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{21}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=3,4x+3y=-15$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 3,2\times 4x+2\times 3y=2\left(-15\right)$$

Permudahkan.

$$8x-4y=12,8x+6y=-30$$

Tolak 8x+6y=-30 daripada 8x-4y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x-4y-6y=12+30$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-6y=12+30$$

Tambahkan -4y pada -6y.

$$-10y=12+30$$

Tambahkan 12 pada 30.

$$-10y=42$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=-\frac{21}{5}$$

Gantikan -\frac{21}{5} dengan y dalam 4x+3y=-15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+3\left(-\frac{21}{5}\right)=-15$$

Darabkan 3 kali -\frac{21}{5}.

$$4x-\frac{63}{5}=-15$$

Tambahkan \frac{63}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-\frac{12}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{21}{5}$$