Selesaikan {l}{2x-y=2}{3x=2(5-y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 3 x = 2 ( 5 - y ) } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 5-y.

$$3x=10-2y$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah.

$$3x+2y=10$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=2$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

Gantikan \frac{y}{2}+1 dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=10.

$$3\left(\frac{1}{2}y+1\right)+2y=10$$

Darabkan 3 kali \frac{y}{2}+1.

$$\frac{3}{2}y+3+2y=10$$

Tambahkan \frac{3y}{2} pada 2y.

$$\frac{7}{2}y+3=10$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{2}y=7$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times 2+1$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 2.

$$x=1+1$$

Tambahkan 1 pada 1.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 5-y.

$$3x=10-2y$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah.

$$3x+2y=10$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 2+\frac{2}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 5-y.

$$3x=10-2y$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah.

$$3x+2y=10$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 2,2\times 3x+2\times 2y=2\times 10$$

Permudahkan.

$$6x-3y=6,6x+4y=20$$

Tolak 6x+4y=20 daripada 6x-3y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-3y-4y=6-20$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y-4y=6-20$$

Tambahkan -3y pada -4y.

$$-7y=6-20$$

Tambahkan 6 pada -20.

$$-7y=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 3x+2y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\times 2=10$$

Darabkan 2 kali 2.

$$3x+4=10$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=2$$