Selesaikan {l}{2x-x=4m+2}{x-2x=5m-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - x = 4 m + 2 } \\ { x - 2 x = 5 m - 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, m

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$m=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gabungkan 2x dan -x untuk mendapatkan x.

$$x=4m+2$$

Gantikan 4m+2 dengan x dalam persamaan lain, -x-5m=-5.

$$-\left(4m+2\right)-5m=-5$$

Darabkan -1 kali 4m+2.

$$-4m-2-5m=-5$$

Tambahkan -4m pada -5m.

$$-9m-2=-5$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-9m=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$m=\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{1}{3} dengan m dalam x=4m+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=4\times \frac{1}{3}+2$$

Darabkan 4 kali \frac{1}{3}.

$$x=\frac{4}{3}+2$$

Tambahkan 2 pada \frac{4}{3}.

$$x=\frac{10}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gabungkan 2x dan -x untuk mendapatkan x.

$$x=4m+2$$

Tolak 4m daripada kedua-dua belah.

$$x-4m=2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gabungkan x dan -2x untuk mendapatkan -x.

$$-x=5m-5$$

Tolak 5m daripada kedua-dua belah.

$$-x-5m=-5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 2-\frac{4}{9}\left(-5\right)\\-\frac{1}{9}\times 2-\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan m.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gabungkan 2x dan -x untuk mendapatkan x.

$$x=4m+2$$

Tolak 4m daripada kedua-dua belah.

$$x-4m=2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gabungkan x dan -2x untuk mendapatkan -x.

$$-x=5m-5$$

Tolak 5m daripada kedua-dua belah.

$$-x-5m=-5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

Untuk menjadikan x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-x-\left(-4m\right)=-2,-x-5m=-5$$

Permudahkan.

$$-x+4m=-2,-x-5m=-5$$

Tolak -x-5m=-5 daripada -x+4m=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-x+x+4m+5m=-2+5$$

Tambahkan -x pada x. Seubtan -x dan x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4m+5m=-2+5$$

Tambahkan 4m pada 5m.

$$9m=-2+5$$

Tambahkan -2 pada 5.

$$9m=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$m=\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{1}{3} dengan m dalam -x-5m=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x-5\times \frac{1}{3}=-5$$

Darabkan -5 kali \frac{1}{3}.

$$-x-\frac{5}{3}=-5$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-\frac{10}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=\frac{10}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$