Selesaikan {l}{2x-7y=8}{y-2x=-3.20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 y = 8 } \\ { y - 2 x = - 3.20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1.2$$

$$y=-0.8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-7y=8$$

Tambahkan 7y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=7y+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(7y+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 7y+8.

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

Gantikan \frac{7y}{2}+4 dengan x dalam persamaan lain, -2x+y=-3.2.

$$-2\left(\frac{7}{2}y+4\right)+y=-3.2$$

Darabkan -2 kali \frac{7y}{2}+4.

$$-7y-8+y=-3.2$$

Tambahkan -7y pada y.

$$-6y-8=-3.2$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-6y=4.8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=-0.8$$

Gantikan -0.8 dengan y dalam x=\frac{7}{2}y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{7}{2}\left(-0.8\right)+4$$

Darabkan \frac{7}{2} dengan -0.8 dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{14}{5}+4$$

Tambahkan 4 pada -\frac{14}{5}.

$$x=\frac{6}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{6}{5},y=-0.8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 8-\frac{7}{12}\left(-3.2\right)\\-\frac{1}{6}\times 8-\frac{1}{6}\left(-3.2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

Untuk menjadikan 2x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-2\times 2x-2\left(-7\right)y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2y=2\left(-3.2\right)$$

Permudahkan.

$$-4x+14y=-16,-4x+2y=-6.4$$

Tolak -4x+2y=-6.4 daripada -4x+14y=-16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-4x+4x+14y-2y=-16+6.4$$

Tambahkan -4x pada 4x. Seubtan -4x dan 4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$14y-2y=-16+6.4$$

Tambahkan 14y pada -2y.

$$12y=-16+6.4$$

Tambahkan -16 pada 6.4.

$$12y=-9.6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$y=-\frac{4}{5}$$

Gantikan -\frac{4}{5} dengan y dalam -2x+y=-3.2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x-\frac{4}{5}=-3.2$$

Tambahkan \frac{4}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-\frac{12}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=\frac{6}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$