Selesaikan {l}{2x-6y=34}{8x-3y=-11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 6 y = 34 } \\ { 8 x - 3 y = - 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=-7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-6y=34$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=6y+34$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(6y+34\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 6y+34.

$$x=3y+17$$

Gantikan 3y+17 dengan x dalam persamaan lain, 8x-3y=-11.

$$8\left(3y+17\right)-3y=-11$$

Darabkan 8 kali 3y+17.

$$24y+136-3y=-11$$

Tambahkan 24y pada -3y.

$$21y+136=-11$$

Tolak 136 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$21y=-147$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 21.

$$y=-7$$

Gantikan -7 dengan y dalam x=3y+17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3\left(-7\right)+17$$

Darabkan 3 kali -7.

$$x=-21+17$$

Tambahkan 17 pada -21.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=-7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}&-\frac{-6}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{1}{7}\\-\frac{4}{21}&\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 34+\frac{1}{7}\left(-11\right)\\-\frac{4}{21}\times 34+\frac{1}{21}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=-7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

Untuk menjadikan 2x dan 8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$8\times 2x+8\left(-6\right)y=8\times 34,2\times 8x+2\left(-3\right)y=2\left(-11\right)$$

Permudahkan.

$$16x-48y=272,16x-6y=-22$$

Tolak 16x-6y=-22 daripada 16x-48y=272 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$16x-16x-48y+6y=272+22$$

Tambahkan 16x pada -16x. Seubtan 16x dan -16x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-48y+6y=272+22$$

Tambahkan -48y pada 6y.

$$-42y=272+22$$

Tambahkan 272 pada 22.

$$-42y=294$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -42.

$$y=-7$$

Gantikan -7 dengan y dalam 8x-3y=-11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$8x-3\left(-7\right)=-11$$

Darabkan -3 kali -7.

$$8x+21=-11$$

Tolak 21 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=-32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=-7$$