Selesaikan {l}{2x-3y-10=0}{7y=-17-8x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 7 y = - 17 - 8 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 10 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x-3y=10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 8x pada kedua-dua belah.

$$7y+8x=-17$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=10$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Gantikan \frac{3y}{2}+5 dengan x dalam persamaan lain, 8x+7y=-17.

$$8\left(\frac{3}{2}y+5\right)+7y=-17$$

Darabkan 8 kali \frac{3y}{2}+5.

$$12y+40+7y=-17$$

Tambahkan 12y pada 7y.

$$19y+40=-17$$

Tolak 40 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$19y=-57$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=\frac{3}{2}y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+5$$

Darabkan \frac{3}{2} kali -3.

$$x=-\frac{9}{2}+5$$

Tambahkan 5 pada -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 10 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x-3y=10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 8x pada kedua-dua belah.

$$7y+8x=-17$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 10+\frac{3}{38}\left(-17\right)\\-\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 10 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x-3y=10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 8x pada kedua-dua belah.

$$7y+8x=-17$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Untuk menjadikan 2x dan 8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$8\times 2x+8\left(-3\right)y=8\times 10,2\times 8x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

Permudahkan.

$$16x-24y=80,16x+14y=-34$$

Tolak 16x+14y=-34 daripada 16x-24y=80 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$16x-16x-24y-14y=80+34$$

Tambahkan 16x pada -16x. Seubtan 16x dan -16x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-24y-14y=80+34$$

Tambahkan -24y pada -14y.

$$-38y=80+34$$

Tambahkan 80 pada 34.

$$-38y=114$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -38.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam 8x+7y=-17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$8x+7\left(-3\right)=-17$$

Darabkan 7 kali -3.

$$8x-21=-17$$

Tambahkan 21 pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$