Selesaikan {l}{2x-3y=5}{3x-2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=5$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{3y+5}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-2y=5$$

Darabkan 3 kali \frac{3y+5}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}-2y=5$$

Tambahkan \frac{9y}{2} pada -2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5$$

Tolak \frac{15}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Darabkan \frac{3}{2} kali -1.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada -\frac{3}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 5\\-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5$$

Permudahkan.

$$6x-9y=15,6x-4y=10$$

Tolak 6x-4y=10 daripada 6x-9y=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-9y+4y=15-10$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9y+4y=15-10$$

Tambahkan -9y pada 4y.

$$-5y=15-10$$

Tambahkan 15 pada -10.

$$-5y=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 3x-2y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\left(-1\right)=5$$

Darabkan -2 kali -1.

$$3x+2=5$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$